Нестандартные методы решения иррациональных неравенств и уравнений. Нестандартные методы решения задач по математике

Тема: «Нестандартные методы решения уравнений»

Цель: рассмотреть некоторые методы решения уравнений, позволяющие учащимся подготовиться к решению задач выпускных экзаменов.

Ход урока.

1. Изучение теоретического материала.

МЕТОД ПОДБОРА КОРНЕЙ .

Уравнения вида https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src=">рациональным уравнением n-ой степени.

1) Если целое число N является корнем.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" height="40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height="30 src=">.

Решение. В рассматриваемом случае https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src=">

Таким образом, несократимая дробь https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src=">; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> является рациональным решением исходного уравнения.

Пример 2. Найти целые корни многочлена f (x )= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> Подставляя полученные числа в исход ный многочлен можно убедиться, что числа1, 2,-2 являются корнями многочлена.

5) Многочлен является непрерывной функцией, поэтому если на концах https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" width="51" height="29 src="> существует хотя бы один корень этого многочлена.

Пример 3. Найти хотя бы один целый корень многочлена f (x )= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> Следовательно, хотя бы один корень лежит в интервале https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src=">

Таким образом, исходный многочлен можно записать в виде: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src=">

Решение. Старший коэффициент равен 1, а свободный член имеет делители 1,2,8,16, следовательно, это уравнение имеет рациональный корень, то этот корень непременно целый и находится среди чисел если https://pandia.ru/text/78/386/images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src=">

Следовательно, https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src=">

Задачи для самостоятельного решения.

1..png" width="265" height="29 src=">

3..png" width="89" height="29 src=">+10х+24=0;

5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png" width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58">

Данный многочлен должен быть тождественно равным исходному многочлену, что возможно при равенстве коэффициентов при соответствующих степенях.

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src=">=1.

Таким образом, исходный многочлен можно записать в виде:

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src=">

Пример1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src=">.png" width="82" height="29 src=">.png" width="165" height="50 src=">.png" width="61" height="29 src=">.

Научный руководитель:

с. Выдрино

Введение ……………………………………………………………………………….3

Основная часть ………………………………………………………………………..4

Умножение уравнения на функцию…………………………………………………...4

Метод неопределённых коэффициентов………………………………………………4

Подбор корня многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту….5

Введение параметра…………………………………………………………………….6

Введение новой неизвестной…………………………………………………………..6

Комбинация различных методов………………………………………………………6

Угадывание корня………………………………………………………………………6

Использование суперпозиции функции……………………………………………….7

Раскрытие знаков модулей……………………………………………………………..8

Уравнение вида f(x) = g(x)…………………………………………………………….8

Уравнение вида f(x) = g(x)……………………………………………………………9

Использование свойств абсолютной величины……………………………………….9

Понижение степени уравнения…………………………………………………………10

Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных………………………………………………………………………10

Использование ограниченности функций………………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………………….14

Список использованной литературы …………………………………………………15

Введение

Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса математики.

Есть много уравнений, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся.

В моей работе систематизирован ряд таких приёмов.

Я изучила методы решения уравнений, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций: монотонности, ограниченности, чётности; применении производной и др.

Моя работа может помочь учащимся и особенно тем из них, кто собирается поступать в высшие учебные заведения в области точных наук, разобраться какими легче и быстрее решить те или иные уравнения, потому что всех изученных по школьной программе методов недостаточно для поступления в ВУЗ.

Кроме этого, в моей работе разобрана масса «хитрых» методов и приёмов решения различных равенств.

Что касается теории, то она предоставлена выборочно, исходя из соображений её применения к тем уравнениям, которые я здесь рассмотрела.

Задачи работы:

· Изучить умножение уравнения на функцию.

· Изучить метод неопределённых коэффициентов.

· Изучить подбор многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту.

· Изучить введение параметра.

· Изучить введение новой неизвестной.

· Изучить комбинирование различных методов.

· Изучить угадывание корня.

· Изучить использование суперпозиции функции.

· Изучить раскрытие знаков модулей.

· Изучить уравнения вида f(x)=g(x).

· Изучить уравнения вида f(x)=g(x).

· Изучить использование свойств абсолютной величины.

· Изучить понижение степени уравнения.

· Изучить решения некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.

· Изучить использование ограниченности функции.

Основная часть

Умножение уравнения на функцию.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример1. Решить уравнение:

X3 – X6 + X4 – X 2 + 1 =

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение:

(Х2 +1) (Х8 – Х 6 + Х4 – Х 2 + 1) = 0 (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:

Х10 + 1= 0 (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 2 . Решить уравнение:

6Х3 – Х 2 – 20Х + 12 = 0 (4)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х + ½, получим уравнение:

6Х4 + 2Х3 – 41/2Х2 + 2Х + 6 = 0 (5)
являющееся следствием (4), так как уравнение (5) имеет корень Х = -1/2, не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметричное уравнение четвертой степени. Поскольку Х=0 не является корнем уравнения (5) то, разделив обе части на 2Х2 и перегруппировав его члены, получим уравнение:

3(Х2 +1/Х2) + (Х +1/Х) – 41/4 = 0 (6)
равносильное уравнению (5). Обозначив Y= Х + 1/Х, перепишем уравнение (6) в виде

3Y2 + Y – 65/4 =0 (7)
уравнение (7) имеет два корня: Y1= -5/2 и Y 2 = 13/6. Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений:

Х + 1/Х = 15/6,

Х + 1/Х = -5/2.

Решив каждое из этих уравнений, найдём четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5)

Так как корень Х4 = -1/2 является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: Х1, Х2, Х3.

Ответ: Х1 =2/3, Х2 = 3/2, Х3 = -2.

Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителя – многочленов, на которые разлагается данный многочлен, этот метод опирается на следующие утверждения.

1) два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;

2) любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

3) Любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух много членов второй степени.

Пример 1 . Разложить на множители многочлен.

Решение. Будем искать многочлены Х - £ и β1Х2+ β2Х+ β3 такие, что справедливо тождественное равенство

Х3-5Х2+7Х-3= (Х - £)(β1Х2+ β2Х+ β3).(1)

Правую часть этого равенства можно записать в виде. β15 Х3+(β2+ £ β1) Х2+(β3 -£ β2)Х+£ β3.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств для нахождения £ ,β1, β2, β3 ;

β2 - £ β1 = -5

Легко видеть, что этим равенством удовлетворяют числа β1=1, β2=-2, β3=1, £=3, а это означает, что многочлен Х3-5Х2+7Х-3 разлагается на множители Х-3 и Х2-2Х+1

Подбор корня многочлен по его старшему и свободному коэффициентам.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

1) если многочлен ап+ап-1Х+…+а0Хп, а0≠0, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень Х0=р/g (где р/g – несократимая дробь, рЄZgЄN), то р – делитель свободного члена ап, а g – делитель старшего коэффициента d0;

2) если каким – либо образом подобран корень Х= £ многочлена рп(Х) степени n, то многочлен рп(Х) можно представить в виде рп(Х) =(Х - £) рп-1(Х), где рп-1(Х) – многочлен степени n-1.

Многочлен рп-1(Х) можно найти либо делением многочлена рп(Х) на двучлен (Х - £) «столбиком», либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя Х - £, либо методом неопределенных коэффициентов.

Пример1. Разложить на множители многочлен.

Х4-5Х3+7Х2-5Х+6

Решение . Поскольку коэффициент при Х4 равен 1, то рациональные корни данного многочлена, если они существуют, являются делителями числа 6, т. е.могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3, ±6. Обозначим многочлен через р4(Х). Так как р4(1)=4 и р4(-4)=23, то числа 1 и -1не являются корнями многочлена р4(Х),и, значит, данный многочлен делится на двучлен Х-2. Поэтому

Х4 - 5Х3+7Х2-5Х+6 Х - 2

Х4 – 2Х3 Х3 – 3Х2+Х - 3

https://pandia.ru/text/78/002/images/image007_17.gif" width="38">При m2+а=0 Х1= - m, Х2=m

При m2+а>0 Х1=m, Х2= m – √ m2+a

Пример 4: Решить уравнение

Х(Х+1)+(Х+1)(Х+2)+(Х+2)(Х+3)+(Х+3)(Х+4)(Х+6)+(Х+5)(Х+6)+(Х+6)(Х+7)+(Х+7)(Х+8)+(Х+8)(Х+9)+(Х+9)(Х+10)=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+8*9+9*10

Решение: Легко заметить что Х1=0 и Х2= - 10 являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное.

А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно решено.

Ответ: Х1=0, Х2= - 10

Использование суперпозиции функции.

Иногда можно найти корень уравнения, если заметить, что функция, находящаяся в одной из частей уравнения, является суперпозицией некоторых более простых функций.

Пример1. Решить уравнение

(X2 + 2X – 5) + 2 (X2 + 2X – 5) – 5 = X. (1)

Решение. Обозначим f(x) = X2 + 2X – 5, уравнение (1) можно переписать в виде f(f(x)) = X. Теперь очевидно, что если Х0 – корень уравнения f(X) = X, то Х0 и корень уравнения f(f(x)) = X. Корни уравнения X2 + 2X – 5 =Х есть Х1=(-1+√ 21)/2 и Х2 = (-1 - √21)/2 отсюда следует, что уравнение (1) имеет эти корни. Переписав уравнение (1) в виде.

X4 + 4X3 – 4X2 – 17X + 10 = 0 (2)

и разделив многочлен (2) на многочлен (X – X1) (X – X2), получим, что уравнение (2) можно записать в виде

(X2 + X – 5) (X2 + 3X – 2) = 0,

отсюда следует корнями уравнения (1) наряду с X1 и X2 являются также корни уравнения

X2 + 3X – 2 = 0,

т. е. числа X3 = (-3 + √17)/2 и X4 = (-3 – √17)/2.

Ответ: X1,2 = (-1 ± √21)/2; X3,4 = (-3 ± √17)/2.

Раскрытие знаков модулей.

Основной метод решения уравнений, содержащих модули, состоит в следующем: надо разбить ОДЗ уравнения на множества, на каждом из которых каждое из выражений, находящихся под знаком модуля, сохраняет знак. На каждом таком множестве уравнение записывается без знака модуля и затем решается на этом множестве. Объединение решений, найденных на всех этих множествах - частях ОДЗ уравнения, составляет множество всех его решений.

Пример1. Решить уравнение

X22x + 1 + 2x – 3 + 2 = X22x – 3 + 4 + 2x –

Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех действительных X. Разобьём ОДЗ на два промежутка:

А) X – 3 ≥ 0

Б) X – 3 < 0

А) Пусть X ≥ 3 тогда X – 3 = X – 3 и уравнение (1) запишется на этом множестве так:

X22x + 1 + 2x – 1 = X22x + 1 + 2x – 1

Это уравнение превращается в верное числовое равенство для любого действительного X, т. е. его решениями являются все действительные X. Из них условию X ≥ 3 удовлетворяют все X из промежутка функция h(Х)= sinпХ неположительная.⇒ на промежутке (1;2] уравнение (1) решений не имеет.

Если же Х>2, то sinпХ≤1, X3 – X=(Х2 – 1)>2*3=6, а это означает, что и на промежутке (2;+~) уравнение (1) также не имеет решений. Итак, Х=0, Х=1 и Х= - 1и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: Х1=0,Х2=1, Х3= -1.

Пример3: Решить уравнение.

2 sinпХ=Х – п/2 – Х+п/2. (2)

Решение: Обозначим =Х – п/2 – Х+п/2 через f(X). Из определения абсолютной величины следует, что f (X)=п при Х≤ - п/2, f(Х)= -2Х при – п/2

Рассмотрим Х из промежутка (- п/2,п/2). На этом промежутке уравнение (2) можно переписать в виде 2 sinпХ= - 2Х, т. е. в виде.

sinХ= - Х/п. (3)

Ясно, что Х=0 есть решение уравнения (3), а значит, и исходного уравнения. Докажем, что других решений уравнение (3) на промежутке (- п/2;п/2) не имеет.

Для Х≠0 уравнение (3) равносильно уравнению.

Для любого значения ХЄ(- п/2;0)U(0;п/2), функция f(X)=sinX/Х принимает только положительные значения, поэтому уравнение (3) не имеет решений на множестве (- п/2;0)U(0;п/2).

Ответ: Х=0; Х=(-1)пп/6+Пn, n= 1,2…;=(-1)m+1п/6+Пm, m=1,2…

Заключение.

В ходе изучения данной темы, я сделала следующий вывод, нестандартные приемы решения уравнений позволяют получить результат более рациональным способом.

При использовании нестандартных методов решение занимает меньше времени, а также оно более интересно.

Список использованной литературы.

, . «Задачи по математике. Уравнения и неравенства».

«Математика на устном экзамене».

, «Задачи на составление уравнений».

, «Уравнения и неравенства».

, «Математика. Методы решения задач».

Соловьёв А. Ф. «Уравнительные вычисления».

Муниципальный конкурс исследовательских и творческих работ школьников

«Шаг в науку»

Секция МАТЕМАТИКИ

Тема : Нестандартные методы решения иррациональных

уравнений.

Нуждина Мария, МАОУ СОШ №2

10 класс, п. Карымское

Научный руководитель: Васильева Елена Валерьевна,

учитель математики

МАОУ СОШ №2, п. Карымское

п. Карымское, 2013

Аннотация………………………………………………………………….3

План исследования…………………………………………………….......4-5

Описание работы:

§1. Основные приемы решения иррациональных уравнений………………6-9

§2. Решение иррациональных уравнений методом замены неизвестного…10-14

§3. Иррациональные уравнения, сводимые к модулю ………….15-17

§4. Разложение на множители…………………………………………...…..18-19

§5. Уравнения вида ………………………………………20-22

§6. Теорема о среднем геометрическом в иррациональных уравнениях

; ……………………………23-24

4) Список литературы…………………………………………………….....25

Аннотация.

Тема нашей исследовательской работы: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».

При выполнении работы было необходимо: сравнивать различные методы решения; переходить от общих методов к частным, и наоборот; аргументировать и доказывать выдвинутые утверждения; изучать и обобщать информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: эмпирическое; логическое и теоретическое (исследование); пошаговое; репродуктивное и эвристическое;

В результате проведенной работы получены следующие результаты и выводы :

Существует множество приемов для решения иррациональных уравнений;

Не все иррациональные уравнения решаются с помощью стандартных приемов;

Мы изучили часто встречающиеся замены, с помощью которых сложные иррациональные уравнения сводятся с простейшим;

Мы рассмотрели нестандартные приемы решения иррациональных уравнений

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

План исследования.

Объектной областью , в которой мы проводили исследование, является алгебра. Объект исследования - решение уравнений. Среди множества уравнений мы рассмотрели иррациональные уравнения - предмет нашего исследования.

В школьном курсе алгебры рассматриваются только стандартные методы и приемы решения (возведенные в степень и простые приемы замены). Но в процессе исследования выяснилось, что существуют иррациональные уравнения, для решения которых стандартных приемов и методов недостаточно. Такие уравнения решаются с помощью других, более рациональных, методов.

Поэтому считаем, что изучение таких приемов решения - нужная и интересная работа.

В процессе исследования выяснилось, что иррациональных уравнений великое множество и сгруппировать их по видам и методам проблематично.

Целью исследования является изучение и систематизирование методов решения иррациональных уравнений.

Гипотеза : Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕГЭ.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи :

Охарактеризовать виды иррациональных уравнений.

Установить связи между видами и методами решения.

Оценить значение проверки и нахождения ОДЗ.

Рассмотреть нестандартные случаи при решении иррациональных уравнений (теорема о средней геометрической, свойства монотонности функций).

В процессе исследования было изучено множество учебных пособий таких авторов как М.И.Сканави,И.Ф.Шарыгина,О.Ю.Черкасова,А.Н.Рурукина,И.Т.Бородуля, а так же статьи из научно-теоретического и методического журнала «Математика в школе».

Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»

Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.

Описание работы.

§1 Основные приемы решения иррациональных уравнений

Уравнение y(x)=0 является иррациональным, если функция y(x) содержит корни из неизвестной величины x или выражений, зависящих от x.

Многие иррациональные уравнения могут быть решены, основываясь только на понятиях корня и области допустимых значений уравнения (ОДЗ), но встречаются и другие методы, некоторые из них будут рассмотрены в работе.

Основным приемом решения иррациональных уравнений считается уединение в одной части уравнения радикала, последующее возведение обоих частей уравнения в соответствующую степень. Если таких радикалов несколько, то уравнение необходимо возводить в исходную степень неоднократно, кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, стоящее под знаком уединенного радикала, было бы неотрицательно.

Однако при возведении в четную степень могут возникнуть посторонние корни, то есть корни, не являющиеся решением исходного уравнения.

Поэтому при использовании такого приема решения, корни должны быть обязательно проверены и посторонние отброшены, в этом случае проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. С другой стороны, иногда легче сделать проверку, чем доказывать, что она необходима.

Рассмотрим несколько примеров:

Ответ: корней нет

–посторонний корень

В этих примерах мы рассмотрели стандартные методы решения иррациональных уравнений(возведение обеих частей в степень и проверка корней).

Однако, многие иррациональные уравнения могут быть решены,

основываясь только на понятиях корня и ОДЗ уравнения.

Так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то достаточно решить систему неравенств.

3х -2х 2 +5 ≥0 (условия ОДЗ уравнения)

4х 2 -26х +40 ≥0

Решая эту систему неравенств получим:

х € Откуда х = 2,5.

х € (-∞ ; 2,5] ᴗ }