Случайное блуждание как базовая модель рынка. Что за чертовщина это «случайное блуждание»

07.04.2019Рубрика: Отдых с детьми

Для того, чтобы протестировать «валидность» гипотезы случайного блуждания, нужно определить, являются ли финансовые результаты той или иной акции (нашей функции) стохастическими или детерминистическими. Теоретически, существует алгоритмический и статистический подход к проблему, но на практике используются лишь последний (и тому есть объяснения).

Алгоритмический подход

Теория вычислимых функций также известная как теория рекурсии или вычислимость по Тьюрингу - это ветвь теоретической информатики, которая работает с концептом вычислимых и невычислимых функций. Функция называется вычислимой в зависимости от того, возможно ли написать алгоритм, который при наличии некоторых входных данных, всегда сможет ее вычислить.

Если случайность - это свойство непредсказуемости, то значит вывод функции никогда нельзя точно предсказать. Логически из этого вытекает, что всеслучайные процессы - это невычислимые функции, поскольку нельзя создать алгоритм для их вычисления. Знаменитый тезис Черча-Тьюринга постулирует, что функция вычислима, только если ее можно вычислить с помощью машины Тьюринга:

Казалось бы, все просто - нужно просто использовать машину Тьюринга для определения того, существует ли алгоритм, предсказывающие поведение цен акций (наша функция). Но здесь мы сталкиваемся с проблемой остановки , то есть задачей определения того, будет ли алгоритм работать вечно, или когда-нибудь он завершится.

Доказано, что эта проблема нерешаема, а значит невозможно заранее узнать, остановится ли программа, или продолжит работу. А значит, нельзя и решить проблему задачу поиска алгоритма, который может «вычислить» функцию (предсказать цену акции) - до остановки машине Тьюринга нужно будет перебрать все возможные алгоритмы, а это займет бесконечно много времени. Поэтому, невозможно и доказать, что финансовый рынок полностью случаен.

Если не принимать во внимание этот факт, то подобные изыскания привели к возникновению интересной области под названием алгоритмическая теория информации . Она имеет дело с отношениями между теорией вычислимости и теорией информации. Она определяет различные типа случайности - одним из самых популярных является определение случайности по Мартин-Лефу, согласн окоторому, для того, чтобы строка была признана случайной, она должна:

Быть несжимаемой - компрессия подразумевает поиск представления информации, которое использует меньше информации. К примеру, бесконечной длинная двоичная строка 0101010101…. может быть выражена более точно как 01, повторенное бесконечно много раз, в то время как бесконечно длинная строка 0110000101110110101… не имеет четко выраженного паттерна, а значит ее нельзя сжать до чего-либо короче, чем эта же самая строка 0110000101110110101 … Это значит, что если Колмогоровская сложность больше или равна длина строки, тогда последовательность алгоритмически случайна.
Проходить статистические тесты на случайность - существует множество тестов на случайность, которые проверяют разницу между распределением последовательности относительно ожидаемого распределения любой последовательности, которая считается случайной.
Не приносить выгоду - интересный концепт, который подразумевает, что если возможно создать некую ставку , приводящую только к успеху, то значит она неслучайна.

В общем и целом, следует различать глобальное и локальное случайное блуждание. Первое относится к рынкам в долгосрочной перспективе, в то время как локальная гипотеза случайно блуждания может утверждать, что рынок случаен на протяжении некоторого минимального периода времени.

В отсутствии дополнительной информации многие системы могут казаться случайными не являясь таковыми - например, те же генераторы случайных чисел. Или, более сложный пример, движение цены некоторой акции может казаться случайным. Но если взглянуть на финансовые отчеты и другие фундаментальные индикаторы, то все может оказаться совсем неслучайным.

Статистический подход

Последовательность статистически случайна, когда она не содержит никаких выявляемых паттернов. Это не означает реальной случайности, то есть непредсказуемости - большинство псевдослучайных генераторов случайных чисел, которые не являются непредсказуемыми, при этом являются статистически случайными. Главное здесь - пройти набор тестов NIST. Большинство из этих тестов подразумевают проверку того, насколько распределение вывода предположительно случайной системы соответствует результатам действительно случайной системы. По ссылке представлен Python-код таких тестов.

Взламывая рынок

После обзора теоретических основ понятия случайности и рассмотрения тестов, которые позволяют ее выявить, другой важный вопрос заключается в том, можно ли с помощью таких тестов создать систему, которая будет определять случайность или неслучайность рыночных последовательностей лучше человека.

Исследователь решил провести собственный эксперимент, для которого использовал следующие данные:

Также анализировались активы различных типов:

Обменные курсы пары доллар/фунт (USD vs GBP) с 1990 до 2015 (дневной график) ~ 25 лет

Набор тестов NIST работал на наборах реальных данных - они дискретиризировались и разбивались на периоды 3,5,7 и 10 лет. Кроме того, существует два способа генерирования тестовых окон - накладывающиеся окна и ненакладывающиеся окна. Первый вариант лучше, поскольку позволяет видеть грядущую случайность рынка, но влияет на качество агрегированных P-значений, поскольку окна не независимы.

Кроме того, для сравнения использовалось два симулированных набора данных. Первый из них - набор двоичных данных, сгенерированный с помощью стратегии дискретизации алгоритма вихря Мерсенна (один из лучших псевдослучайных генераторов).

Второй - двоичные данные, сгенерированные функцией SIN.

Проблемы

У каждого эксперимента есть свои слабые места. Не обошлось без них и в этот раз:

Для некоторых тестов требуется больше данных, чем сгенерировал рынок (кроме случаев использования минутных или тиковых графиков, что не всегда возможно), что значит, что их статистическая значимость чуть менее, чем идеальна.
Тесты NIST проверяют только стандартную случайность - это не значит, что рынки распределены не нормально или как-то по-другому, но все равно случайны.
Случайно выбранные временные периоды (начинающиеся с 1 января каждого года) и уровень значимости (0,005). Тесты нужно проводить на куда более обширном наборе выборок, которые начинаются с каждого месяца или квартала. P-значение не оказало серьезного влияния на итоговые выводы, поскольку при разных его значениях (0,001, 0,005, 0,05) некоторые тесты все равно не были пройдены в определенные периоды (например, 1954-1959 гг.)

Результаты

Вот каких результатов удалось добиться с помощью двух способов тестирования с накладывающимися или ненакладывающимися окнами:

Выводы можно сделать следующие:

Значения лежат между значениями двух бенчмарков, что означает, что рынки менее случайны, чем вихрь Мерсенна и более случайны чем SIN-функция. Но в итоге они не случайны.
Значения серьезно различаются по измерению - размер окна серьезно влияет на результат, и уникальности - рынки не одинаково случайны, некоторые из них более случайны, чем другие.
Значения для бенчмарков консистентно хороши для вихря Мерсенна (в среднем пройдено более 90% тестов) и плохи для SIN-графа (пройдено в среднем 10-30% тестов).

В начале статьи мы рассматривали пример с экспериментом профессора Бертона Малкиеля, который написал знаменитую книгу «Случайное блуждание по Уолл-стрит» (

Алгоритмический подход

Быть несжимаемой - компрессия подразумевает поиск представления информации, которое использует меньше информации. К примеру, бесконечной длинная двоичная строка 0101010101…. может быть выражена более точно как 01, повторенное бесконечно много раз, в то время как бесконечно длинная строка 0110000101110110101… не имеет четко выраженного паттерна, а значит ее нельзя сжать до чего-либо короче, чем эта же самая строка 0110000101110110101 … Это значит, что если Колмогоровская сложность больше или равна длина строки, тогда последовательность алгоритмически случайна.
Проходить статистические тесты на случайность - существует множество тестов на случайность, которые проверяют разницу между распределением последовательности относительно ожидаемого распределения любой последовательности, которая считается случайной.
Не приносить выгоду - интересный концепт, который подразумевает, что если возможно создать некую ставку , приводящую только к успеху, то значит она неслучайна.

Статистический подход

Взламывая рынок

Исследователь решил провести собственный эксперимент, для которого использовал следующие данные:

Также анализировались активы различных типов:

Обменные курсы пары доллар/фунт (USD vs GBP) с 1990 до 2015 (дневной график) ~ 25 лет

Второй - двоичные данные, сгенерированные функцией SIN.

Проблемы

У каждого эксперимента есть свои слабые места. Не обошлось без них и в этот раз:

Для некоторых тестов требуется больше данных, чем сгенерировал рынок (кроме случаев использования минутных или тиковых графиков, что не всегда возможно), что значит, что их статистическая значимость чуть менее, чем идеальна.
Тесты NIST проверяют только стандартную случайность - это не значит, что рынки распределены не нормально или как-то по-другому, но все равно случайны.
Случайно выбранные временные периоды (начинающиеся с 1 января каждого года) и уровень значимости (0,005). Тесты нужно проводить на куда более обширном наборе выборок, которые начинаются с каждого месяца или квартала. P-значение не оказало серьезного влияния на итоговые выводы, поскольку при разных его значениях (0,001, 0,005, 0,05) некоторые тесты все равно не были пройдены в определенные периоды (например, 1954-1959 гг.)

Результаты

Выводы можно сделать следующие:

Значения лежат между значениями двух бенчмарков, что означает, что рынки менее случайны, чем вихрь Мерсенна и более случайны чем SIN-функция. Но в итоге они не случайны.
Значения серьезно различаются по измерению - размер окна серьезно влияет на результат, и уникальности - рынки не одинаково случайны, некоторые из них более случайны, чем другие.
Значения для бенчмарков консистентно хороши для вихря Мерсенна (в среднем пройдено более 90% тестов) и плохи для SIN-графа (пройдено в среднем 10-30% тестов).

В начале статьи мы рассматривали пример с экспериментом профессора Бертона Малкиеля, который написал знаменитую книгу «Случайное блуждание по Уолл-стрит» ( Чартизм стар, как египетские папирусы. Метод «случайного блуждания» тоже имеет древние корни, но в законченном виде столь же юн, как и компьютеры. Чартизм пытается найти какой- то порядок в происходящем - метод «случайного блуждания» утверждает, что никакого порядка нет. И если сторонники теории случайного блуждания правы, то чартисты вот-вот останутся без работы, а над всеми аналитиками по ценным бумагам сгустились грозные тучи.
Сторонники «случайного блуждания» в массе своей университетские профессора, работающие на факультетах бизнеса и экономики. Они хорошо владеют сложным математическим языком и с удовольствием им пользуются. Более того, статьи о «случайном блуждании», пишущиеся этими учеными, просто обязаны быть абсолютно непонятными для непосвященных и перенасыщенными математическими символами для того, чтобы произвести должное впечатление на коллег. Если вы хотите посмотреть, как оно выглядит, попробуйте почитать журнал «Киклос» - в нем таких статей не одна и не две. Обширный материал, относящийся к интересующей нас теме, может быть найден именно там. Но мы обнаружим его и в сборнике «Случайный характер цен на фондовой бирже» (опубл. Массачусетсом институтом технологии под ред. профессора Пола Кутне- ра), и в 16-м номере «Избранных трудов факультета бизнеса Чикагского университета», в работе профессора Юджина Фей- мы «Случайное блуждание применительно к ценам на фондо-вой бирже».
Что такое «случайное блуждание»? Я не в состоянии понять и половины статей, посвященных этому предмету, поскольку мое знание булевой алгебры ограничено, а знание стохастических серий равно нулю. Но после ряда бесед с ребятами, занимающимися случайным блужданием, до меня дошло, что всю эту хитрость можно определить одним-единственным предложением. Позднее профессор Кутнер через одного из моих друзей передал, что мое определение вполне годится, а посему, без всяких уравнений, S и D, я его привожу здесь.
Цены не имеют памяти, а вчерашний день не имеет никакого отношения к завтрашнему. Каждый новый день начинается с вероятности 50 на 50. Вчерашние цены уже включали в себя все детали вчерашнего дня. Или, как сказал профессор Фейма, «прошлая история серии (изменений цены акции) не может быть использована для прогнозов будущего никаким рациональным образом. Будущее движение уровня цен в целом или цены отдельно взятого актива предсказуемо не более чем движение серии случайных чисел».
Беспорядочностью как способом переиграть рынок занимаются, конечно, не одни университетские профессора. Сенатор Томас Дж. Макинтайр, демократ из Нью-ймпшира и член влиятельного банковского комитета Сената, в один прекрасный день принес с собой обычную настенную мишень для метания стрелок-дротиков. Он прикрепил к ней список компаний с фондовой биржи и принялся метать дротики. Пакет акций, выбранный с помощью дротиков, оказался результативнее портфелей подавляющего большинства взаимных фондов. (Таким образом, дротики сенатора Макинтайра подтвердили показания теоретиков случайного блуждания, профессоров Пола Сэмюэлсона из МИТ и Генри Уоллича из Йельского университета, данные ими на сенатских слушаниях при обсуждении законодательства о взаим-ных фондах.) Если такие крупнокалиберные орудия, как профессора Сэмюэлсон и Уоллич плюс банковский комитет Сената столь серьезно относятся к «случайному блужданию», то всем ос-тальным стоит крепко задуматься: ведь если в «случайном блуж-дании» действительно заключается Истина, то ценность всех графиков и всех инвестиционных консультаций равна нулю - а это может очень серьезно повлиять на правила Игры.
Первое исходное положение «случайного блуждания» заключается в том, что рынок, - например Нью-Йоркская фондовая биржа - представляет собой «эффективный» рынок, то есть такой, где цифры рациональны, а нацеленные на прибыль инвесторы конкурируют между собой, имея примерно равный доступ к информации и пытаясь определить будущее поведение цен.
Второй исходный тезис гласит, что акции имеют действитель-ную ценность - «равновесную цену» на языке экономистов - и что в любой отдельно взятый момент цена акции может быть хорошим показателем ее действительной ценности, которая в целом зависит от доходности данной акции. Но поскольку никто с уверенностью не может сказать, что же такое действительная ценность, то, как говорит профессор Фейма, «действия множества конкурирующих участников должны вызывать случайные блуждания текущей цены акции вокруг ее действительной ценности*.
Сторонники «случайного блуждания» испытали свою теорию на «эмпирических доказательствах». Целью исследования было математически продемонстрировать, что последовательные изменения цены происходят независимо друг от друга. Вот вам фрагмент одного из текстов - просто чтобы хорошенько вас припугнуть. Его автор профессор МИТ Уильям Стайгер, а сама работа была опубликована в сборнике «Случайный характер цен на фондовой бирже».
«Тест основан на выборочном распределении статистики, относящейся к чисто случайным блужданиям, характер которых сформулирован мною ранее. Принимая, что t - это отношение (случайная переменная) диапазона девиации от прямой, соединяющей первое и последнее значения сегмента континуального случайного блуждания к выборочной стандартной девиации приращения, это распределение определяет вероят-ность, Pt, где t меньше или равно любому t.
Рассмотрим следующий стохастический процесс. Примем, что
S(t) (m^t^n),
описывает чисто случайное блуждание в сегменте от т до п, где тип целые числа, a t постоянно изменяется в пределах m Sn=S(t)t. п (1)
Мы трансформируем реализацию S(t) в сегменте от m до п до вариации, имеющей средний нулевой инкремент, как показано ниже. Обозначим:
3\"(г)=8(г)-8-(п-^^-т\\ тп-т 4 \"
отклонения от линии, связывающей (т, Sm) с (п, 5П), тогда
„ _ max -. , . min „. , . ґз,\\
Rm(t)= S (и)- S (и) (?)
mK/ m будет диапазоном девиации сегмента (т, гі) за время t. Беря ИНКремеНТЫ:
d=S\"t-Slj (г -целое число; (m+l)МЫ определяем:
(5)
с =
т,п
2W
j=m+l
п-т і*
стандартную девиацию инкрементов в сегменте в целочисленные отрезки времени. Наконец, полагая случайную переменную
(6)
мы получаем выборочную функцию распределения для
Ш>5
ty2V2-l ^Г (7)
1-
N"
н
NJ
H(t)=Pr(tmri К \r\n
(N четное) (N нечтное)
ІЖ
iN-1
Уравнение (7) имеет две интерпретации в выборочных сегментах случайного блуждания. Поскольку для сегмента непрерывного случайного блуждания S(t) выбрать можно только 5"j, где і целое число, то выбрать Rm(t) в (3) невозможно, а выбрать удается только:
_ max тіп „..
и таким образом выбранным оказывается только
D
t - "
т,п
При некоторых значениях Rm і может равняться Rm(i). Тогда и только тогда (7) может интерпретироваться как точная выборочная функция распределения для tm(n).
При взятых в общем значениях Rm, і На случай, если вы этого не знали раньше, речь идет о сериальных коэффициентах корреляции - и я, глядя на них, испытываю то же самое чувство, что и вы. Другой подход к проблеме состоит в том, чтобы протестировать механические правила для ведения торговых операций и убедиться, дают ли они лучший результат, чем просто покупка и откладывание акций. Профессор Сидней Александер из МИТ, например, перепробовал все виды фильтров, по результатам тестов делая заключение о том, что произойдет, если следовать различным механическим правилам торгов.
(Пятипроцентный фильтр работает следующим образом. Если какие-то акции поднимаются в какой-либо день на 5 процентов, покупайте их и держите до тех пор, пока цена с последней высшей точки не двинется вниз на 5 процентов. Тогда вам следует их продать и далее идти на продажу без покрытия. Продолжайте продавать без покрытия до тех пор, пока котировка на момент закрытия не превысит последнюю низшую точку как минимум на 5 процентов. В этом случае покройте проданное и начинайте покупать.)
Как видите, фильтр действительно связан с анализом тенденций и с измерением движения цен. Профессор Александер сообщает о проделанной проверке фильтров с уровнем от 1 до 50 процентов (см. «Движения цен в условиях спекулятивных рынков: тенденции и случайные блуждания»). При этом выяснилось, что просто покупать и держать акции постоянно дает лучший результат, чем применение любого из фильтров.
Поэтому сторонники случайного блуждания утверждают, что заявление типа «акция с проявившейся тенденцией с большей вероятностью будет продолжать двигаться с этой тенден-цией», есть абсолютная чепуха. Шансы того, сохранится или нет тенденция движения акции, равны пятьдесят на пятьдесят.
То же самое можно сказать о бросании монеты. Если вы бросаете монету пять раз, и пять раз подряд выпадает орел - каковы шансы на то, что и в шестой раз выпадет орел? А если вы бросаете монету сто раз, и сто раз подряд выпадает орел, каковы шансы на то, что орел выпадет и в сто первый раз? Тс же самые пятьдесят на пятьдесят.
«Если модель случайного блуждания адекватно описывает реальность, - говорит профессор Фейма, - то работа технического аналитика, как и работа астролога, не имеет никакой реальной ценности».
С особенной агрессивностью приверженцы случайного блуждания настроены по отношению к чартистам. Как я уже рассказывал, один профессор случайного блуждания буквально подавился десертом у меня в доме, когда кто-то посмел сказать, что, возможно, диаграммы стоит принимать всерьез. (Теперь в нашей семье заведено правило: все сторонники случайного блуждания должны закончить свой десерт, прежде чем может быть затронута тема графиков и диаграмм.) Другой мой знакомый профессор, апологет случайного блуждания, стал со своими студентами бросать монету, приняв орел за плюс и решку за минус. Потом они составили диаграмму, ставя крестик при выпадении орла и нолик при появлении решки. И что вы думаете? Получилась классическая диаграмма типа «крестики-нолики», со всеми непременными элементами: «головой и плечами», «обратными движениями», «двойными вершинами» и всем прочим.
Но приверженцы случайного блуждания не ограничиваются атаками на чартистов. Они намерены серьезно побеспокоить и аналитиков-фундаменталистов. Вот как они рассуждают в данном случае
Между реально существующей ценой и действительной внутренней ценностью акции имеются расхождения. Аналитик собирает всю доступную ему информацию и, прилагая все свои знания и таланты, высказывается за покупку или, соответственно, продажу. Его действия помогают сузить существующий разрыв между ценой и внутренней ценностью. И чем лучше и искушеннее аналитики, тем в большей степени они нейтрализуют самих себя, потому что все более «эффективным» становится рынок А «эффективный» рынок четко согласуется с моделью случайного блуждания, где внутренняя ценность уже учтена и отражена в цене.
Понятно, что аналитик, находящийся на шаг впереди остальных, в условиях эффективного рынка перекроет суммарный средний результат своих коллег, но штука в том, что все аналитики убеждены, что их способности и профессионализм выше среднего. Достижения аналитика должны постоянно быть выше, чем результаты случайным образом составленного портфеля активов того же самого характера уже хотя бы потому, что каждый аналитик с 50-процентной вероятностью перекроет результат случайной выборки, даже если он полный идиот или пользуется мишенью и дротиками вместо логарифмической линейки.
Мир случайного блуждания - холодный, суровый и весьма негативный мир. Приверженцы этой теории верят в существо-вание внутренней ценности акции, но нам от этого не легче, потому что акции продаются по своей внутренней ценности, - что бы мы под этим термином ни понимали - только в те мо-менты, когда рынок пересекает эту отметку, двигаясь вверх или вниз. Иными словами, внутренняя ценность оказывается вер-ной точкой отсчета в том же смысле, в каком и остановившиеся часы показывают правильное время два раза в сутки.
Как мы уже знаем, существует одиннадцать тысяч аналитиков по ценным бумагам - и уж, конечно, многие тысячи чарти- стов. Чартисты не верят в случайное блуждание, потому что такая вера лишила бы их работу всякого смысла - какому же профессионалу приятно сознавать, что мишень с дротиками работает не менее эффективно, чем он? Что касается аналити-ков, то они считают, что случайное блуждание не играет ника-кой роли, потому что их информированность и интуиция по-зволяют им быть впереди. Ни один из них всерьез не погружа-ется в математические доказательства теории случайного блуждания. Если бы они это сделали и приняли приведенные аргументы, то, возможно, смирились бы с некоторой потерей в зарплате и переключились бы на преподавание в школах биз-неса, но пока никакого заметного исхода в этом направлении не наблюдалось.
В поддержку скептиков мы можем лишь еще раз обратиться к предпосылке, утверждающей, что биржа в разумных пределах «эффективна», то есть, что это рынок, где цифры рациональны, а нацеленные на прибыль инвесторы конкурируют между собой. Вполне, однако, вероятно, что инвесторы - и даже холодные, суровые, профессиональные инвестиционные менеджеры - не рациональны, или рациональны не на все 100 процентов. Возможно, они предпочитают иметь некоторую прибыль и чувствовать, что они в своих решениях не одиноки, чем иметь максимальную прибыль и испытывать непрекращающуюся тревогу. Инвестор в модели случайного блуждания с подозрительным постоянством ведет себя как «гомо экономикус», а мы уже не раз рассуждали о том, что «гомо» все-таки не совсем «экономикус». Как сказал лорд Кейнс, «нет ничего более катас-трофического, чем рациональная инвестиционная стратегия в иррациональном мире».
До сих пор еще никто не сумел втиснуть эмоции в сериальные коэффициенты корреляции и в анализ прогона сериальных испытаний. Абсолютно верно, что, статистически рассуждая, завтрашняя цена акции не имеет никакого отношения к ее вчерашней цене. Но люди, Толпа, наделены памятью, которая охватывает и тот день, и этот. Вы, наверное, заметили кое-что, в равной степени присущее и миру случайного блуждания, и миру графиков и диаграмм: ни в одном из этих миров нет места для людей. Там есть цены, там есть коэффициенты, там есть прошлое (или же его нет - в зависимости от того, какой из двух теорий вы придерживаетесь). Дерево епископа Беркли падает в лесу и производит страшный шум, хотя нет никого, кто бы этот шум услышал.
Если биржа - это действительно Игра, то в Игру вполне можно играть и без всяких внутренних ценностей. А если одно из правил Игры гласит, что дерево епископа Беркли падает тогда, когда все решили, что оно упало, - то даже и в самом дереве нет нужды. Если принтеры будут печатать сертификаты на обладание акциями, Нью-Йоркская фондовая биржа будет по-пре- жнему открыта, а банки будут время от времени впечатывать цифры дивидендов, то вся Игра остается на месте, даже если все сталеплавильные заводы, склады и железные дороги таинственным образом исчезли - при условии, что никто из участников Игры об этом не знает.
Приверженцы случайного блуждания для более сложных доказательств правоты своей теории обращаются к компьюте-рам, надеясь обрести дополнительные силу и авторитет. Теха- налитики тоже обращаются к компьютерам, прогоняя выборки и фильтры, настроенные не только на ценах закрытия, но и на максимумах и минимумах, скользящих средних и тд.- в об-щем, по любому мыслимому сериальному отношению величин. Но компьютеры программируются людьми, машины не спо-собны думать сами. Посему одни и те же компьютеры выдают не одни и те же доказательства. Первый вызов математическому языку теории случайного блуждания был брошен в работе Роберта Леви «Концепция относительной силы» - и, вероятно, где-то зреет ответ на нее на том же самом языке.
Влияние теории случайного блуждания должно бы быть благотворным по определению уже потому, что она заставляет всех проверять и перепроверять полученные результаты вместо того, чтобы принимать на веру мифы и обобщения. Но в то же время - я здесь ни на что не намекаю - среди приверженцев случайного блуждания очень мало богатых людей, как мало их и среди чартистов. С другой стороны, есть весьма успешные инвесторы, не располагающие какими-то сформулированными системами. Может бьггь, они просто попали в удачную серию сделок, может бьггь, они более рациональны или имеют больший доступ к информации. А может быть, они - и этого не желают принять к сведению в суровом мире статистики - просто более хорошие знатоки человеческой психологии.
Сторонники случайного блуждания не утверждают единогласно, что биржа - это случайное блуждание. Некоторые признают: нет, это не совсем так - уже хотя бы потому, что рынок далек от совершенства, от полной «эффективности». Иными словами потому, что на нем есть люди. «Моя модель, - пишет профессор Кутнер, - полностью совместима с тем, как мне видится чтение диаграмм на Уолл-стрит. Подобно индейским знахарям, открывшим транквилизаторы, уолл-стритские шаманы, без каких бы то ни было научных методов, с помощью своей магии что-то все-таки производят, не имея понятия о том, что они произвели и как оно работает». А профессор Александер заключает одну из своих статей так- «В условиях спекулятивного рынка цена, как видится, со временем следует принципу случайного блуждания, однако ее движение, однажды начавшись, имеет тенденцию продолжаться».
Но по движению, которое имеет тенденцию продолжаться, уже можно построить диаграмму. («Результаты статистиков в исследовании случайного блуждания в длительном временном интервале не противоречат неслучайным тенденциям в интервале происходящего движения», - пишет профессор Александер.)
Честно говоря, следует приложить уже упомянутую в этой книге предвзятость как к диаграммам, так и к случайному блужданию. Диаграмм мы вскользь коснулись, но техническая работа охватывает, кроме движения цен, и другие факторы (объем продаж, его рост, падение и т.д.), что диаграммы с готовностью нам и демонстрируют. Моя предвзятость, в которой я уже признавался, заключается в любви к «накапливающимся доходам», вполне укладывающимся в старую фундаменталистскую концепцию, называемую «Учтенная в настоящем ценность будущих прибылей». А от нее уже рукой подать до классической фундаменталистской теории «Нынешней ценности будущих дивидендов». Бесспорно, в растущие доходы вплетена идея «Внутренней ценности», но в Игру можно играть и при нали-чии «Внутренней ценности». А если биржа - это Игра, то по-пытки статистиков уничтожить диаграммы и графики вовсе не так страшны, как они представляются. Чартисты, вместе взятые, сами по себе становятся серьезной рыночной силой. Может быть, они просто принадлежат к иррациональной и еще неизмеренной австралопитековой стороне рынка.
Есть и еще одна претензия, которую следует предъявить академическим исследователям: они склонны читать лекции на языке, которым слушатель не владеет, - например, на языке квадратных уравнений. «В отношениях между математикой и отношением инвестора к акциям существует специфический парадокс», - пишет Бенджамин Грэм, старейшина финансового анализа, в своей книге «Разумный инвестор». Грэм продолжает:
«Считается, что математика дает точные и надежные результаты. Но на фондовой бирже, чем более изощрены и сложны математические построения, тем более ненадежны и гадательны те выводы, которые мы из них делаем. За все сорок четыре года моего опыта на Уолл-стрит я ни разу не видел надежных расчетов ценности акций или связанной с ней инвестиционной стратегии, которые выходили бы за пределы простой арифметики или самой элементарной алгебры. Если в игру входит математический анализ или высшая алгебра, - это всегда признак того, что автор пытается подменить опыт теорией».
Как вы могли бы предположить, памятуя о моей собственной предвзятости, я с готовностью соглашаюсь здесь со старейшиной финансового анализа. Более того. Мне кажется, что даже если бы адепты случайного блуждания объявили о том, что найдено безупречное математическое доказательство случайного характера биржевых процессов, я все равно продолжал бы ве-рить в то, что в длительной перспективе будущие прибыли вли-яют на текущую цену, а в краткосрочной перспективе доминан-тным фактором останется неуловимый австралопитек - харак-тер и настроение толпы.

Еще по теме ЧТО ЗА ЧЕРТОВЩИНА ЭТО «СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ»?:

§ 2А. ГИПОТЕЗА СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ И КОНЦЕПЦИЯ ЭФФЕКТИВНОГО РЫНКА
Вы говорите, что изобилие - это открытость БОГУ, а что вы скажете о тех, кому это не уда-ется?
Вы говорите, что освобождение от ненужных вещей - это один из законов изобилия. Я полностью перебрала свой гардероб и хочу обновить его. Но не могу решиться, так как боюсь истратить на это все свои сбережения. Я говорила себе, что можно и повременить; но тут у меня появилась боль в середине спины. Может, это послание мне, чтобы я все-таки сделала это?
Когда я прошу у моего внутреннего БОГА послать мне какую-то сумму денег, например 10 000 долларов для покупки вещей, которых у меня нет, не означает ли это, что я боюсь, что их у меня не будет? Или же это означает, что я не верю в своего внутреннего БОГА?
Может ли случиться так, что ты по-настоящему веришь, что что-то является для тебя хорошим, а это так никогда и не проявится?
Мой муж хочет, чтобы я составляла семейный бюджет и придерживалась его. Он говорит, что я бесполезно трачу слишком много денег и что если бы у нас был бюджет, мы бы добились большего процветания. Я думаю, что если я составляю бюджет, то это равнозначно тому, что я не живу в своем настоящем времени. Что вы мне посоветуете?
Когда я вовремя не плачу то, что я должен, и с меня удерживают проценты за просрочку платежа, не является ли это расточительностью? Не закрывает ли это мне доступ к изобилию?

Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х = 0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки —х), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.

Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров случайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением D N , за N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании.

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожидать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, г. е. каково среднее значение |D|? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D 2 ; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блужданий.

Можно показать, что ожидаемая величина D 2 N равна просто N— числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величиной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов блуждания. Эта величина обозначается как и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного шага D 2 всегда равно +1, поэтому, несомненно, = 1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины.)

Ожидаемая величина D 2 N для N > 1 может быть получена из D N -1 . Если после (N — 1) шагов мы оказались на расстоянии D N -1 то еще один шаг даст либо D N = D N -1 + 1, либо D N =D N -1 — 1. Или для квадратов

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью 1/2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая величина D 2 N будет просто D 2 n-1 + 1. Но какова величина D 2 n-1 , вернее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» , так что

Если теперь вспомнить, что = 1, то получается очень простой результат:

Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из D < 2 N > и получить так называемое «среднее квадратичное расстояние» Dск:

Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то D N . будет просто равно N 0 — N P , т. е. разности числа выпадений «орла» и «решки». Или поскольку N 0 + N P = N (где N — полное число подбрасываний), то D N = 2N 0 — N. Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого распределения величины No [она обозначалась тогда через k; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку N — просто постоянная, то теперь такое же распределение получилось и для D. (Выпадение каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между N 0 и D появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов (k = 15 соответствует D = 0, а k= 16 соответствует D= 2 и т. д.).

Отклонение N 0 от ожидаемой величины N/2 будет равно

откуда для среднего квадратичного отклонения получаем

Вспомним теперь наш результат для D ск. Мы ожидаем, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть равно √30 = 5,5, откуда среднее отклонение k от 15 должно быть 5,5: 2 ≈ 2,8. Заметьте, что средняя полуширина нашей кривой на фиг. 6.2 (т. е. полуширина «колокола» где-то посредине) как раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом.

Теперь мы способны рассмотреть вопрос, которого избегали до сих пор. Как узнать, «честна» ли наша монета? Сейчас мы можем, по крайней мере частично, ответить на него. Если монета «честная», то мы ожидаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е.

Одновременно ожидается, что действительное число выпадений «орла» должно отличаться от N/2 на величину порядка √N/2, или, если говорить о доле отклонения, она равна

т. е. чем больше N, тем ближе к половине отношение N0/N.

На фиг. 6.6 отложены числа N 0 /N для тех подбрасываний монеты, о которых мы говорили раньше. Как видите, при увеличении числа N кривая все ближе и ближе подходит к 0,5. Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждой данной серии или комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к ожидаемому отклонению. Всегда есть конечная вероятность, что произойдет большая флуктуация — появление большого числа выпадений «орла» или «решки»,— которая даст произвольно большое отклонение. Единственное, что можно сказать,— это если отклонения близки к ожидаемому 1/2√N (скажем, со множителем 2 или 3), то нет оснований считать монету «поддельной» (или что партнер плутует).

Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или какого-то другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно не предсказуемых исхода наблюдения, например камень, который может упасть только на какую-то из двух сторон), имеется достаточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность Р(О) как отношение /N. Но что принять за величину ? Каким образом можно узнать, что ожидается! Во многих случаях самое лучшее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «орла» в большой серии испытаний и взять = N 0 (наблюденное). (Как можно ожидать чего-то еще?) При этом, однако, нужно понимать, что различные наблюдатели и различные серии испытаний могут дать другое значение Р(О), отличное от нашего. Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут расходиться больше чем на 1/2√N [если Р(О) близко к половине]. Физики-экспериментаторы обычно говорят, что «экспериментально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде

При такой записи подразумевается, что существует некая «истинная» вероятность, которую в принципе можно подсчитать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспериментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смысле — вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопределенности наших познаний и величина ее колеблется при их изменении.

Описывающую перемещение частицы в нек-ром фазовом пространстве под воздействием какого-либо случайного механизма. Фазовым пространством обычно бывает d-мерное или целочисленная в нем. Случайные механизмы могут быть различными; чаще рассматривают С. б., порожденные суммированием независимых случайных величин или цепями Маркова. Точного общепринятого определения С. б. нет.
Траектории простейших С. б. в случае d=l описываются начальным положением S 0 =0и последовательностью сумм

где X i независимы и имеют Бернулли

Значение S n можно интерпретировать как выигрыш одного из двух игроков после ппартий в игре, в к-рой этот в каждой из партий выигрывает один рубль с вероятностью . и проигрывает его с вероятностью 1- р. Если игра ведется с помощью подбрасывания симметричной монеты, то следует положить р=1/2 (симметричное блуждание, см. Бернулли блуждание ). При допущении, что начальный капитал 1-го игрока равен b, а начальный капитал 2-го игрока равен а, игра закончится, когда блуждающая частица (с координатами S 1 , S 2 , . . .) впервые коснется одного из уровней аили -b. В этот один из игроков разорится. Эта классич. задача о разорении, в к-рой барьеры в точках аи -b можно рассматривать как поглощающие.
В приложениях, связанных с массового обслуживания теорией, частица вблизи барьеров аи -b=0 может вести себя иначе: напр., если а=, b =0, то положение Z n+ 1 блуждающей частицы в момент n+1в соответствии с (1) описывается соотношением

и барьер в точке 0 можно наз. задерживающим. Существуют и другие возможности для поведения частицы вблизи барьеров.
Если а= то получают задачи для С. б. с одной границей. Если а=b = то получают неограниченное С. б. Изучение описанных С. б. происходит обычно с помощью аппарата дискретных цепей Маркова и, в частности, путем исследования соответствующих уравнений в конечных разностях. Пусть, напр., u k есть разорения 1-го игрока в задаче о разорении, если его капитал равен k, а суммарный капитал обоих игроков фиксирован и равен а+b. Тогда из формулы полной вероятности (по первому скачку) следует, что и k удовлетворяет уравнению

и граничным условиям u а =0, u -b = 1. Отсюда получают

Вторая из этих формул показывает, что даже лбезобидная

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ" в других словарях:

Теория случайных блужданий теория, согласно которой изменения стоимости ценных бумаг колеблются случайным образом вокруг своей объективной цены, оппонирует теории технического анализа. Содержание 1 Одномерное дискретное случайное блуждание … Википедия

случайное блуждание - atsitiktinis klajojimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. random walk vok. zufällige Irrfahrt, f; zufällige Schrittfolge, f rus. случайное блуждание, n pranc. cheminement aléatoire, m; errance, f; marche aléatoire, f … Fizikos terminų žodynas

Случайное блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере Б. б. можно пояснить нек рые основные черты более общих случайных блужданий. В частности, уже в этой простейшей схеме проявляются свойства случайности, парадоксальные с точки… … Математическая энциклопедия

Задача о разорении игрока задача из области теории вероятностей. Подробно рассматривалась российским математиком А. Н. Ширяевым в монографии «Вероятность» … Википедия

Игра, имеющая характер развертывающегося в дискретном времени процесса на древовидно упорядоченном множестве (наз. также деревом). Конечной П. и. наз. система где 1) I множество игроков (|I| = n); 2) X конечное дерево, вершины к рого наз.… … Математическая энциклопедия

Однородный марковский процесс X(t), где Т аддитивная подполугруппа действительной оси R со значениями в топологич. пространстве. с топологией и борелевской алгеброй переходная функция Р(t, х, В), к рого обладает определенным свойством гладкости … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Монте Карло (значения). Метод Монте Карло (методы Монте Карло, ММК) общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного)… … Википедия

Метод Монте Карло (методы Монте Карло, ММК) общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные… … Википедия